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espérance mathématique propriétés

30.12.2020, , 0

L'espérance conditionnelle E( X | Y) est elle-même une variable aléatoire, dont la valeur dépend de la valeur de Y. À noter que l'espérance conditionnelle de X sachant l'événement [Y = y] est une fonction de y.Si on note E( X | Y = y) = g(y), alors la variable aléatoire E( X | Y) est tout simplement g(Y). Y ) L'espérance sert donc à prévoir la valeur moyenne obtenue pour la variable que l'on mesure si l'expérience est renouvelée un très grand nombre de fois. φ d ∘ R Il s'agit de savoir quelle somme on peut espérer gagner dans un jeu de hasard. p 0 X suivant une loi Binomiale de paramètre n et p : ⋅ ⋯ X Une inégalité célèbre à ce propos est l'inégalité de Jensen pour des fonctions convexes (ou concaves). P , , + {\displaystyle \mathbb {E} [X]=x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+\dotsb +x_{n}p_{n}\;. ∞ ) x X 37 X x E φ Si les probabilités sont toujours sans dimensions, les espérances peuvent s'exprimer avec les mêmes unités physiques (mètres, kilogrammes, secondes, ampères), monétaires (euros) ou abstraites (points, jetons, buts) que les variables aléatoires ( ∑ étant une moyenne pondérée de pour que le jeu soit équitable. d = { , ∑ α i Espérance mathématique d'une variable aléatoire X Dans certains cas, les indications de l'espérance mathématique ne coïncident pas avec un choix rationnel. ⋅ Dans le cas où une variable aléatoire peut prendre les valeurs xi associées aux probabilités pi, la moyenne arithmétique est appelée espérance mathématique m ou E(X) : Car ∑ (pi) = 1 On montre les propriétés … x ( y d ) = xn) ∫ ≡ ⋅ ) ( X En particulier les distributions à longue traîne comme la distribution de Cauchy, produisent des intégrales non convergentes et donc des espérances non définies. b Il est probable que vous refuserez de jouer. qui correspond à l'espérance de cette expérience de lancer de dé. = général, une fonction φ mesurable de Définition Soit (;A;P) un espace de probabilité. 1 ⋯ {\displaystyle \varphi ^{\prime }} }, E Ainsi Blaise Pascal, dans son problème des partis, cherche à savoir comment répartir les mises quand le jeu s'interrompt en cours de partie[1]. L'exponentielle se développe en série de Taylor : ϕ La définition permet de retrouver toutes les définitions précédentes. = Pourtant, la probabilité que 5 essais ou moins suffisent vaut près de 0,6 et la probabilité que 7 lancers ou plus soient nécessaires est de 0,33. {\displaystyle \mathbb {E} \left(\varphi (X)\right)=\sum _{i=1}^{n}\varphi (x_{i})p_{i}.}. ( d La variance d’une variable aléatoire \(V(X)\) est l’espérance mathématique du carré de l’écart à l’espérance mathématique. ∑ ≥ . Pascal ne parle pas de probabilité ni d'espérance de gain mais son idée intuitive reste d'associer un gain à une chance de l'obtenir[2]. ) 1 + 0 ∞ n R ∑ ( | {\displaystyle ux)\,\mathrm {d} x} ( ∫ ( = i à condition que cette somme soit absolument convergente. ∞ x p ) Si vous souhaitez plus d'informations sur l'Espérance mathématique : cliquez ici. x ≤ = = ] 055 ) L’espérance mathématique d’une va-riable aléatoire 1 Les variables aléatoires étagées. 0 X . 1 Propriétés : Loi normale 2 X˜N 01; 3 N 01, EX = 0 = =m 0 4 N 01, VX = 1 2 = 1 4 P 1 96,– X 1 96, 0 95,= PX 0 PX 0 PX 0 PX 0 1 2 = = = = ---PX U = PX U PX U = = =PX U 1 – PX U 1 – PX U | i = x1) {\displaystyle {\frac {1\,000\,000}{36}}-{\frac {10\,000\times 35}{36}}=18\,055}. ( y y 2 X E k n L'espérance est fortement liée à l'idée de moyenne. ) ) }}\mathbb {E} \left(X^{k}\right).}. d x {\displaystyle \mathbb {E} (X)=\int _{\Omega }X(\omega )\mathrm {d} \mathbb {P} (\omega )=\int _{\mathbb {R} }x\mathrm {d} \mathbb {P} _{X}(x).} ( Le problème tient justement sur ce « en moyenne » : si les gains sont extrêmement importants, ils n'interviennent que relativement rarement, et pour avoir une garantie raisonnable de ne pas finir ruiné, il faut donc avoir suffisamment d'argent pour participer à un grand nombre de parties. Dans le cas d'une variable aléatoire à valeurs entières, ces formules se réécrivent, après un petit calcul intermédiaire, respectivement : L'espérance et la loi des grands nombres permettent aussi d'invalider une loi de probabilité. > ) = x {\displaystyle \mathbb {R} _{+}} En particulier, avec son frère, il s'intéresse à l'espérance de vie [4]. + = définit une nouvelle variable aléatoire réelle φ ≡ . {\displaystyle \varphi } mathématique se calcul à partir de la densité Espérance mathématique et choix rationnel. P {\displaystyle \mathbb {E} [X]=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}\,p_{i},} 10 = = ) Variable discrète prenant un nombre fini de valeurs, Variable discrète prenant un ensemble dénombrable de valeurs, Généralisation : espérance d'une fonction d'une variable aléatoire, Cas d'une variable aléatoire réelle positive, Espérance mathématique et choix rationnel, Applications particulières (économie, assurance, finance, jeux), Lettre de Pascal à Fermat du 29 juillet 1654, citée et analysée dans, fonction caractéristique d'une variable aléatoire, Van rekeningh in spelen van geluck/Du calcul dans les jeux de hasard, 1656-1657, Index du projet probabilités et statistiques, Test de Fisher d'égalité de deux variances, Test T pour des échantillons indépendants, Portail des probabilités et de la statistique, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Espérance_mathématique&oldid=173680274, Article manquant de références depuis août 2011, Article manquant de références/Liste complète, Portail:Probabilités et statistiques/Articles liés, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence. P x φ à condition que l'intégrale soit absolument convergente. Dans ce cas une variable aléatoire X peut trés bien ( ⋅ k ∞ P 0 Y ( k α x et a ne pas avoir d'espérance mathématique , l'espérance X 3 {\displaystyle \mathbb {E} (X)=\mathbb {E} \left(\mathbb {E} (X|Y)\right).}. y , x3, ) = ∫ = X ∑ Logamaths.fr, est un site d'enseignement des mathématiques créé depuis le 1er octobre 2011, par M. Abdellatif Abouhazim, professeur de mathématiques au Lycée Fustel de … E = {\displaystyle (\mathbb {R} ,\,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))} X 6 1 Propriétés. ) 36 Y 0 X α Si X est une variable aléatoire positive ou nulle, alors ( φ Définition : Propriétés = a = a + b = + Espérance mathématique. Espérance mathématique et choix rationnel. . m Si vous souhaitez plus d'informations sur l'Espérance mathématique : cliquez ici. Christian Huygens, quant à lui, dans Du calcul dans les jeux de hasard de 1657[3] s’intéresse à la somme à miser pour que le jeu soit équitable. ′ 6 {\displaystyle \varphi } 1 + 6 X i X ( x On définit l'espérance mathématique d'une variable aléatoire comme étant la somme des produits des valeurs d'une variable aléatoire par leur probabilité. ( M R ) ) X X ) y ( Imaginons par exemple qu'on vous fasse la proposition suivante : si vous arrivez à faire un double six avec deux dés, vous gagnez un million d'euros, sinon vous perdez 10 000 euros. P p 0 φ ) {\displaystyle \mu =\int x\,f (x)\,\mathrm {d} x\,} La variance d'une variable aléatoire continue X peut aussi se calculer de la façon suivante : V ( X ) = ∫ x 2 f ( x ) d x − μ 2. = ⋅ . ) Il s'agit de la fonction caractéristique d'une variable aléatoire. 1 ( f E {\displaystyle \mathbb {E} [X^{\alpha }]=\int _{0}^{+\infty }\alpha x^{\alpha -1}\mathbb {P} (X\geq x)\,\mathrm {d} x} φ 6 ( [ X N(0 ; 1) : Propriétés de l'espérance mathématique ∫ x + Essayez des activités de Netmath gratuitement et voyez comment elles peuvent vous aider. ∑ = P(X ∫ En effet, la notion de hasard empêche de prédire le résultat d'une seule expérience aléatoire mais la loi des grands nombres permet de mieux maitriser le résultat si on exécute un grand nombre d'expériences aléatoires de même type. , 0 0 x 1 φ 36 [ − P ( {\displaystyle \varphi \circ X} | ( P Pour s'en persuader il suffit d'étudier le cas d'une loi géométrique, une loi particulièrement dissymétrique. = Une martingale est un type de processus stochastique (c'est-à-dire aléatoire) dynamique, tel que son espérance mathématique à l'instant dépend de l'information disponible à une certaine date , dénotée : (|) = (avec ≤). X f ) x {\displaystyle \varphi (0)=0} Comment ajouter mes sources ? Puisque l'on peut définir une grandeur (l'espérance) comparable à la moyenne on peut également définir des grandeurs qui en dérivent telles que la variance et l'écart type.

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